相信大家对于排列组合有时候会有一定的困扰，什么时候要排列，什么时候要组合，而概率又是什么东东啊？那这篇笔记其实就是大致解释这三项，并顺便提供一些练习题。但这里小编主要会提供练习题，解释那里小编带过就好，解释里的题目也看看就好，简单嘛XD
1）排列Permutation
2）组合Combination
3）概率Probability
练习
提示
答案
解释
排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
举个例子，你有3个不同颜色的球，分别为红黄蓝，有多少种排列方法？答案就是六种：红黄蓝、红蓝黄、蓝红黄、蓝黄红、黄红蓝、黄蓝红。排列的公式如下：
答案=n！
n是需要参与排列的物体个数。在这里的“！”不是感叹号，而是factorial，什么是factorial呢？就是1*2*3...一直乘到n。
a）现在你有四个不一样的东西要进行排列，有多少种排列方法呢？
代入公式，答案就是4！，即1*2*3*4=24。
如果我们只需要排列一部分的东西，而不是排列所有呢？那这时候就可以使用公式：
答案=nPr=nCr*r！
n就是所有物体的个数，r是参与排列的物体的个数。P和C的区别就是一个是用在排列，一个是用在组合。虽然我们现在看的是排列，但其实要用C也是可以的，只需要在后面乘参与排列物体的个数的factorial就好。这个可以用计算机去找。
b）有五个颜色的球，任取3个进行排列，有多少种排法？
答案=5P3=5C3*3！=60
其实组合和排列真的差不远，只是组合不需要进行排列，所以就不存在n！这个说法了，因为在组合里，我们是不用分前后的，因此，组合的公式只有：
答案=nCr
a）现在有8个小朋友，任选6个进入一个小组，另外两个丢掉，则答案会是：
答案=8C6=28
概率的范围是从0-1，可以是0，也可以是1，但不会在这个范围之外。
概率=题目要求的可能性/所有可能性
a）有1-10十张牌，随意抽取两张且抽了之后不放回，两张牌都是偶数的概率是？
概率=5C2/10C2=10/45=2/9
为什么是5C2呢？原因是题目要求的是抽到两张偶数牌，即2、4、6、8、10里面我们要抽到2张，因此5C2。
为什么是10C2呢？概率的分母是要求所有可能性，因此十张牌任选其二，则10C2。
2次更新，这次加入了概率的更高级做法，概率中的概率！其实这么说小编也不懂小编在说什么XD，那就让我们直接看例子吧！
b）一个城市有很多很多人，当中男性70%，女性30%，在这所有人中，男性抽烟的百分比是40%，而女性则是30%，那，请问（1）城市中抽烟人数的百分比；（2）如果随便抽取一个抽烟者，问这个人是女性的机率。
好，首先我们先来看（1），已知这堆男人中有40%抽烟，女性30%抽烟，因此（男性）70%*40%+（女性）30%*30%=0.28+0.09=0.37，因此正解是37%。这个要求的就是男女分开算，毕竟男女有别XD
（2）的话，那就比较麻烦了。小编觉得麻烦的原因是这个不能直接打字，要画图，因为有一些符号小编不懂怎么打哈哈哈。
请记得，我们要找的是P（FS），如果F在前面，表示我们要找的是抽烟者是女性的几率；相反的，如果S在前面，那我们就要找女性的抽烟机率。所以要找什么就把哪一个放在前面喽！
由于小编已经打完这篇文章了，也懒惰再去修改了（很麻烦哎），因此小编会把练习和答案放在留言区，请有兴趣的读者自己去做哦。
上面的解释和暖身题还ok吗？如果可以的话那我们就往下走！
1）有7个小朋友，分为3组，一组3个人，其余两组2个人，问有多少种组合方法？
2）20个鸡蛋里有4个生鸡蛋，问连续抽中2次生鸡蛋的机率？
3）有1-10十张牌，随意抽取两张，抽了一张之后需要放回才再抽，两张牌都是偶数的概率是？
4）八个小朋友分成两组，每组四个人，并且每组都要站成一列，问有多少种站法？
5）六个小朋友（ABCDEF）参加4*100接力赛，当中A和B说好要跑一起跑，不跑就一起不跑，问有多少种分配棒次的方法？
6）工厂做了200个sample，当中有20个是有问题的，现在随机抽取两次，问抽到一个好一个坏的组合数是？（不考虑先后）
7）小明和小美参加一个共八人的交换礼物晚会，问他们各抽到对方的礼物的机率是？（允许抽到自己的）
8）1-9九个数字，能够组成多少个大于3000的四位数？（数字可重复使用）
9）1-9九个数字，能够组成多少个大于3000的四位数？（数字不可重复使用）
*10）四个标有ABCD的箱子，以及四个标有ABCD的球，问只有一个球放入相同标记的箱子的机率是？【每个箱子必须，也只能放一颗球】
*11）10个人坐成一排，当中小明和小美两个人表示他们死都不要分开，问有多少种坐法？
*12）10个人坐成一排，当中小明和小华两个人表示他们死都不要坐一起，问有多少种坐法？
*13）0-9十个数字，能够组成多少个小过200的数字？（数字不可重复）
*14）0-5六个数字，能够组成多少个三位数（偶数）？（数字不可重复）
15）箱子里有3个红球、3个蓝球、4个黄球，连续抽取三次且不放回，问抽到最少两颗黄球的概率是？
16）ABCDEF六个人玩谁是卧底，四个平民一个卧底一个白板。已知CD不是卧底，AC不是白板，问E是平民的机率是？
17）“ALIBABA”七个字母全取，如果L要排在中间，有多少种排列方法？
18）12个人坐3辆车去玩，一辆车坐4个人，假设车主都坐自己的车，其他9个人有多少种坐法？
19）6个人（ABCDEF）参加4*100接力赛，假如AB都不跑第二第三棒，有多少种排法？
*20）从1-10中随机抽取五个数字（不重复），并从小到大排列，问“3”在第二个位子的排法有多少？
*表示小编觉得是20题中较有挑战性的。
排列题：4、5、8、9、11、12、13、14、17、19、20
组合题：1、6、18
概率题：2、3、7、10、15、16
1）210
2）3/95
3）1/4
4）40320
5）168
6）3600
7）1/56
8）5103
9）2352
10）1/3
11）725760
12）2903040
13）126
14）52
15）1/3
16）1/2
17）60
18）1680
19）96
20）70
1）有7个小朋友，分为3组，一组3个人，其余两组2个人，问有多少种组合方法？
答：210
解释：
这题其实不难，就是7C3*4C2*2C2，从7个人中选出3个人为一组，再从剩下的4个人选2个人为一组，剩下的两人为一组。不用排列而是组合的原因是在一个组的不需要分谁前谁后，反正是一组的就是了。
2）20个鸡蛋里有4个生鸡蛋，问连续抽中2次生鸡蛋的机率？
答：3/95
解释：
先搞好分母，分母是所有的可能性，即20C2=190，分子则是抽中两颗生鸡蛋的可能性，即4C2=6，因此答案是6/190=3/95。
这题的另一个做法是用分数，先是4/20（抽到第一颗生鸡蛋），之后是3/19（剩下的19颗蛋中还剩下3颗生的），两个相乘，得出12/380，约一下，还是3/95。
3）有1-10十张牌，随意抽取两张，抽了一张之后需要放回才再抽，两张牌都是偶数的概率是？
答：1/4
解释：
这个跟上面的题目很相似，但实际上比那个还简单好不好！1/2*1/2，就是答案了啦！
4）八个小朋友分成两组，每组四个人，并且每组都要站成一列，问有多少种站法？
答：40320
解释：
八个小朋友中选取四个人，再进行排列，也就是8P4。剩下的4个人则在同一组，也进行排列，4P4，两个相乘，就可以得出40320了。
5）六个小朋友（ABCDEF）参加4*100接力赛，当中A和B说好要跑一起跑，不跑就一起不跑，问有多少种分配棒次的方法？
答：168
解释：
这题和上面的有些不一样，由于有两种情况（AB都跑，AB都不跑），因此要区分开来，各自算出结果，然后再把这两个结果加起来。
如果AB都跑，表示剩下的四个人选两个出来跑，然后这四个跑的人的位置也要分配一下，也就是2C2*4C2*4！=144。
如果两个人都不跑，表示剩下的四个人全部都要跑，也就是直接4！=24。
把144和24相加，就是168了。
6）工厂做了200个sample，当中有20个是有问题的，现在随机抽取两次，问抽到一个好一个坏的组合数是？（不考虑先后）
答案：3600
解释：
题目要求组合数，那我们就直接找就好了。200个里面有20个坏，180个好，要抽中1好1坏，也就是20C1*180C1=3600。
7）小明和小美参加一个共八人的交换礼物晚会，问他们各抽到对方的礼物的机率是？（允许抽到自己的）
答案：1/56
解释：小明抽到小美的礼物的机率是1/8，当小美的礼物被抽到后只剩下7个礼物，因此小美抽到小明礼物的几率是1/7，得出答案1/56。
8）1-9九个数字，能够组成多少个大于3000的四位数？（数字可重复使用）
答：5103
解释：
首先，由于数字可以重复，因此可以随便拿数字了。先看千位数，既然要大于3000，那千位数就不取1、2，其他七个数字都可以取。因此千位数这里是7C1。百位数、十位数和个位数这里都没有限制，因此三个位子都是九个数字任选其一，即9*9*9，得出来的答案就是5103。
9）1-9九个数字，能够组成多少个大于3000的四位数？（数字不可重复使用）
答案：2352
解释：
这题和第8题差不多，只是条件上有变化。既然是这样，我们还是一样，千位数是7C1，百位数、十位数、个位数这里剩下8个数字选3个（其中一个数字已经被千位数用掉了），然后再排列一下，因为123不等于321，所以需要排列。因此，答案是7C1*8P3=2352。
10）四个标有ABCD的箱子，以及四个标有ABCD的球，问只有一个球放入相同标记的箱子的机率是？
答案：1/3
解释：
这题是小编觉得20题中难度系数前3的题目。首先，先搞好分母，4个球放进4个箱子，也就是4！=24。
之后，我们需要假设，由于只有一个放对了，我们就假设A是对的吧。那A这里就是1C1，B这里呢，还剩下三颗球，分别是BCD，但是记得！我们要放错！所以不能放B，只能放C或D，因此B这里是2C1。现在剩下的两颗球，一颗是B，一颗是C/D，如果剩下的是C球，由于我们要放错，因此只有一个方法，也就是D球放进C箱子，B球放进D箱子。剩下的是D球也一样，只是放的箱子不同，因此可知C箱子和D箱子这里都是1C1。因此，1C1*2C1*1C1*1C1=2。
但是，不要忘记我们刚刚只是假设A罢了，现实中可能是B对，可能是C对，也可能是D对，因此要乘4，来确保四个箱子都有被考虑到。因此分子是2*4=8。答案就是8/24=1/3啦。
在这里，小编想顺便考考大家，没有球放对的概率是？两颗球放对呢？三颗球呢？全部正确呢？欢迎在留言区告诉我们你的答案！
11）10个人坐成一排，当中小明和小美两个人表示他们死都不要分开，问有多少种坐法？
答案：725760
解释：
小明和小美死都不分开，其实表达了一个重点——他们是连体婴！啊——不是吗——没关系，最起码在这题里，他们是连体婴！把小明和小美看作一个个体，那我们就剩下9个人啦！这九个人可以随便坐，因此是9！=362880。然而，不要忘记虽然小明和小美是连体婴，但他们也可以左右换位的，可以是小明在左，也可以是小美在左，因此不要忘记在362880那边乘上一个2！，这样答案就是725760了。
12）10个人坐成一排，当中小明和小华两个人表示他们死都不要坐一起，问有多少种坐法？
答案：2903040
解释：
好。。。刚刚那个是连体婴，这个是断体婴是吧？这题看上去很乱水，其实换个思维想：只要把所有可能性，减去他们俩一起的可能性，不就是他们不在一起的可能性了吗？！因此，就拿10！-9！*2！=2903040。（为什么是9！*2！？看11题吧~）
13）0-9十个数字，能够组成多少个小过200的数字？（数字不可重复）
答案：162
解释：
答案算到72的朋友举起手来！小编敢说你们一定没看清楚题目，题目说的是“小过200的数字”呀~也就是说答案可以是98这种数字，也可以是1啊~
遇到这种题目，分成三部分，第一部分：200以下的三位数。
首先，百位数只有一个可能，也就是1，因此这里是1C1，至于十位数和个位数因为没有限制，因此随便从9个数字里选两个乱乱放，也就是9C2*2！=72。
来到第二个部分：两位数。
十位数这里除了0之外，其他都能放，也就是9C1，至于个位数那边就从剩下的九个数字里选一个吧~也就是9C1，因此两个给他乘起来，就是9C1*9C1=81。
第三个部分：个位数。
除了0之外，其他都可以取，也就是9C1=9。
把三个答案加起来，72+81+9=162。
14）0-5六个数字，能够组成多少个三位数（偶数）？（数字不可重复）
答：52
解释：
这个的条件有点多哦~遇到这种情况，一定要分开做！我们从偶数先下手：
情况1：0为最后一个数字
这样的话个位数就是0了，那我们从1-5里面选两个数字并排列，就是5P2*1C1=20。
情况2：2/4为最后一个数字
这样的话个位数就是2C1（2或4选一个），百位数由于不能是0，因此只能从剩下的四个选一个，也就是4C1，最后的十位数没有限制，因此从最后4个选剩的选一个，也是4C1，也就是4C1*4C1*2C1=32。答案就是20+32=52~
15）箱子里有3个红球、3个蓝球、4个黄球，连续抽取三次且不放回，问抽到最少两颗黄球的概率是？
答案：1/3
解释：
一开始看——卧槽，又红又黄又蓝的，很乱啊啊啊啊——其实，只要看清楚题目，就可以把这10颗球分成两类：黄色、不是黄色。我们就来看看到底有哪些可能性：（在下面，黄色就用黄，不是黄色就用不）
1）黄黄黄：4/10+3/9+2/8=24/720
2）黄黄不：4/10+3/9+6/8=72/720
因为2）有三种排法因此72/720还要乘3，因此=216/720
两个相加，得出240/720=1/3
16）ABCDEF六个人玩谁是卧底，四个平民一个卧底一个白板。已知CD不是卧底，AC不是白板，问E是平民的机率是？
答：1/2
解释：
这题。。。好像太简单了吧，E只有可能有三种身份：平民、卧底、白板，已知卧底机会是1/4，白板也是1/4，那拿平民的机会自然就是1/2咯~
17）“ALIBABA”七个字母全取，如果L要排在中间，有多少种排列方法？
答：60
解释：
好，这题其实也不难，只要注意重复的A和B就好了。先固定好L在中间，也就是可以变动的剩下6个字母，即6！=720。由于有3个A，因此要用6！除以3！，同时还有两个B，因此还要再除2！，因此：
答案=6！/3！2！=720/（6*2）=60
18）12个人坐3辆车去玩，一辆车坐4个人，假设车主都坐自己的车，其他9个人有多少种坐法？
答：1680
解释：
这题其实也不难啦~9个人坐3辆车，也就是9C3*6C3*3C3=1680~
19）6个人（ABCDEF）参加4*100接力赛，假如AB都不跑第二第三棒，有多少种排法？
答：96
解释：这个和上面的接力赛的题目也差不多，不过条件更烦了啦~这次有三种可能性要去想：
a）AB都参赛
b）AB其中一个参赛
c）AB都不参赛
关于a），就是AB分别跑第一棒和第四棒，其他四个人选两个跑第二第三棒，因此就是
（AB）2C2*2！*（CDEF）4C2*2！=24
关于b），AB选一人出战，其他四个人派三个出来，因此就是：
（AB）2C1*（CDEF）4C3*3！=48
关于c）AB都不上，就是其他四个的天下了，因此直接4！=24
把三个结果加起来，答案就是96了~
20）从1-10中随机抽取五个数字（不重复），并从小到大排列，问“3”在第二个位子的排法有多少？
答案：70
解释：
首先已知3在第二个位子，也就是说前面是1或2，后面是4-10当中的三个数字。
前面一定是2C1了，至于后面则是7C3=35。2C1*1C1*7C3=70。
为什么是用C而不是用P呢？不是要排列吗？啊，其实呢在这题他已经自动帮我们排好了~让我们来想想，抽到456、546、654、645其实结果都是一样——456，因为题目已经说好帮我们从小到大排列了，因此就不需要用P啦~
这就是小编给大家带来的数学笔记，那，我们下篇见！
难度提升的概率题：
ReplyDelete一个聚会里有200人，当中80人是男性，120人是女性。在这80位男性中，有60位戴着帽子，20位没戴；女性中，则是20人没有戴帽子，100人有戴，问：
（1）男性在这个宴会的百分比；
（2）戴帽子的人在这个宴会的百分比；
（3）随便抽一个戴帽子的人出来，问他是男性的机率；
（4）随便抽一个男性出来，问他不戴帽子的机率。
欢迎读者在底下留言分享你们的答案！
正确答案：
Delete（1）40%
（2）80%
（3）37.5%
（4）25%
是不是很简单呢？祝同学们都能顺利答题！
第二题我算到0.03157894736，请问是什么问题？
ReplyDelete3/95就是 0.03157894736。
Delete一个是分数，一个是小数，但号码是一样的。